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Problem

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3321

Solution

由于 m 是质数所以把 $ab \equiv x \pmod {m}$ 换成 $g^{i+j} \equiv g^k \pmod {m}$ ， $g$ 是模 $m$ 意义下的原根。

那么考虑 dp， $f_{k, i}=\sum f_{k-1, j}~d_{i-j}$ 。 $f_{k,i}$ 是前 $k$ 局得到 $g_i$ 的方案数，而 $d_i$ 是 取 1 个数 能得到的 $g_i$ 的方案个数。

根据费马小定理做多项式乘法并将前后两半合并，就可以按局数进行多项式快速幂来转移。

记得长度 2 倍。

记得质数不要筛错。

记得该上 1ll 的地方不要忘记上。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define MOD (1004535809)
using namespace std;

typedef long long ll;

int qpow(int x, int y, int mo) {
    x%=mo;
    int ret=1;
    while(y) {
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%mo;
        x=1ll*x*x%mo, y>>=1;
    }
    return ret;
}

int g(int x) {
    x--;
    int pri[30], p=0, rx=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) {
            while(x%i==0) x/=i;
            pri[p++]=i;
        }
    if(x>1) pri[p++]=x;
    char ok;
    for(int g=2; g<=rx; g++) {
        ok=1;
        for(int i=0; i<p; i++)
            if(qpow(g, rx/pri[i], rx+1)==1) { ok=false; break; }
        if(ok) return g;
    }
    return -1;
}

const int N=4e4+10;
int r[N], inv, T, M, X, S;
int n, m, id[N], a[N], b[N], x[N], y[N];

void fft(int x[], int y) {
    for(int i=1; i<n; i++) if(i<r[i]) swap(x[i], x[r[i]]);
    int t, w, o;
    for(int i=1; i<n; i<<=1) {
        o=qpow(3, y*(MOD-1)/(i<<1)+MOD-1, MOD);
        for(int j=0; j<n; j+=(i<<1)) {
            w=1;
            for(int k=0; k<i; k++, w=1ll*w*o%MOD)
                t=1ll*x[i+j+k]*w%MOD, x[i+j+k]=(x[j+k]-t+MOD)%MOD, (x[j+k]+=t)%=MOD;
        }
    }
}

void work(int a[], int b[]) {
    fill(x, x+n, 0), fill(y, y+n, 0);
    for(int i=0;i<=M-2;i++) x[i]=a[i];
    for(int i=0;i<=M-2;i++) y[i]=b[i];
    fft(x, 1), fft(y, 1); for(int i=0; i<n; i++) x[i]=1ll*x[i]*y[i]%MOD;
    fft(x, -1); for(int i=0; i<=M-2; i++) a[i]=1ll*(x[i]+x[i+M-1])*inv%MOD;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin>>T>>M>>X>>S;
    int G=g(M), na;
    memset(id, -1, sizeof(id));
    for(int i=0, j=1;i<M-1;i++, j=j*G%M) id[j]=i;
    for(int i=1; i<=S; i++) {
        cin>>na;
        if(na) b[id[na]]=1;
    }
    a[0]=1;
    m=(M-2)<<1; int l=0; for(n=1; n<=m; n<<=1) l++;
    for(int i=1; i<n; i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    inv=qpow(n, MOD-2, MOD);
    while(T) {
        if(T&1) work(a, b);
        work(b, b), T>>=1;
    }
    cout<<a[id[X]]<<endl;
    return 0;
}

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